无穷级数考前预习
在用傅里叶级数和泰勒级数进行函数的近似和在频域上的展开的过程中，在解某些偏微分方程的过程中，我们已经了解到了无穷级数的重要性。那么我们来学习一下无穷级数的一般理论。
常数项级数
求和的时候每一项都可以有具体的数值。
定义和一些性质
给出一个序列$\{u_n\}$，$\sum_{k=1}^{\infty}u_k$就是一个无穷级数。其中$u_n$称作级数的一般项，这个序列的前$n$项和$s_n=\sum_{k=1}^nu_k$称作级数的部分和。而一个无穷级数有意义的话，它的部分和就一定收敛，即$\lim_{i\to\infty}s_i=s$，此时我们称这个无穷级数收敛，$s$为级数的和，否则称这个无穷级数发散，反过来也一样。
有一些特殊的级数，比如说$\sum_{i=1}^{\infty}aq^i(a\neq0)$，称作几何级数或等比级数，$q$叫做级数的公比。用求部分和再讨论极限的方法就可以得到这个级数的敛散性和公比的关系，这也是判断级数敛散性的一种方法。
和导数公式一样，如果我们先给出收敛级数的一些性质，就可以更方便的求其进行求值或证明。
性质1 如果收敛级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n=s$，那么$\sum_{n=1}^{\infty}ku_n$也收敛，其和为$ks$。
性质2 如果级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$分别收敛于和$s$和$\sigma$，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\pm v_n\right)$也收敛，其和为$s\pm\sigma$。
用两者部分和的关系容易证明以上两个性质。
性质3 在级数中去掉，加上或改变有限项，级数的收敛性不变。
性质4 如果级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$收敛，那么对这级数的项任意加括号后所成的级数$(u_1+\cdots+u_{n_1})+(u_{n_1+1}+\cdots+u_{n_2})+\cdots+(u_{n_{k-1}+1}+\cdots+u_{n_k})+\cdots$仍收敛，其和不变。
用收敛序列的性质容易证明性质3和性质4。但这些性质只对收敛级数成立，比如说有不收敛的无穷级数$1-1+1-1+\cdots$，对其加括号后变成$(1-1)+(1-1)+\cdots$，收敛于$0$。
性质5（级数收敛的必要条件） 如果级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$收敛，那么有$\lim_{n\to\infty}u_n=0$。
收敛序列的后项减前项的极限为$0$。
柯西审敛原理
上一节中我们只介绍了直接求部分和判断敛散性或者用一般项的极限判断无穷级数是否发散的两种方法。显然这两种方法有很多弱点。我们直接把序列极限的收敛原理移植到无穷级数来
定理（柯西审敛原理） 级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$收敛的充要条件为，对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正整数$N$，对于任意的$q\geq p>N$有$\left|u_p+u_{p+1}+\cdots+u_q\right|<\varepsilon$。
证明过程中常常使用$\left|u_n+u_{n+1}+\cdots+u_{n+p}\right|$这样的形式，将和式保留前几项，再求得后面的周期和是负值，从而完成放缩。
正项级数及其审敛法
一般项非负的级数叫做正项级数。正项级数的部分和是单调递增序列，其敛散性的判断比较容易。
定理1 正项级数收敛当且仅当其部分和序列有界。
定理2（比较审敛法） 设$\sum_{n=1}^\infty u_n$和$\sum_{n=1}^\infty v_n$都是正项级数，且$u_n\leq v_n,n=1,2,\cdots$，则若级数$\sum_{n=1}^\infty v_n$收敛，则$\sum_{n=1}^\infty u_n$也收敛，若$\sum_{n=1}^\infty u_n$发散，则$\sum_{n=1}^\infty v_n$也发散。
比较审敛法的定理可以推广到存在正整数$N$，使得只有当$n>N$时，$u_n$和$v_n$之间才满足大小关系，这个大小关系也可以加上任意的有限倍数，即$u_n\leq kv_n$或$u_n\geq kv_n$。
p-级数 级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$称为p-级数。使用分项求和化为指数或者积分的方法可以证明，当$p\leq1$时，该级数发散，$p>1$时，该级数收敛。这个级数常用在比较审敛法中。
定理3（比较审敛法的极限形式） 设$\sum_{n=1}^\infty u_n$和$\sum_{n=1}^\infty v_n$都是正项级数。
（1）如果$\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l(0\leq l<+\infty)$，且级数$\sum_{n=1}^\infty v_n$收敛，则级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$收敛；
（2）如果$\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l(0<l\leq+\infty)$，且级数$\sum_{n=1}^\infty v_n$发散，则级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$发散。
经常取用等比级数和p-级数与无穷级数的一般项进行比较。
定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法） 设$\sum_{n=1}^\infty u_n$为正项级数，如果$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$，则当$\rho>1$时，无穷级数发散，当$\rho<1$时，无穷级数收敛，当$\rho=1$时，级数的敛散性不确定（例：p-级数）。
有阶乘什么的，尤其是到了幂级数的时候用起来比较方便。这个定理可以看作是和等比级数进行比较，如果为$1$的话就需要考虑高阶小量的影响，因此不确定是否收敛。
级数的余项 级数的第$k$项之后的和称作级数的余项，记作$r_k=\sum_{n=k+1}^\infty u_n$，可以用来进行误差的估计。
定理5（根值审敛法，柯西判别法）设$\sum_{n=1}^\infty u_n$为正项级数，有极限$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho$，当$\rho>1$时级数发散，当$\rho<1$时级数收敛，$\rho=1$时无法判断。
这个也是和指数作比较。
定理6（极限审敛法） 设$\sum_{n=1}^\infty u_n$为正项级数，$\lim_{n\to\infty}nu_n=l>0$时级数发散，$\lim_{n\to\infty}n^pu_n=l(p>1,0\leq l<+\infty)$时级数收敛。
和p-级数作比较。
上面的达朗贝尔、柯西等审敛法都可以用比较审敛法的极限形式等价替换。
交错级数及其审敛法
交错级数就是邻项异号的级数。存在方便的定理。
定理7（莱布尼兹定理） 如果交错级数$\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n$满足$\{u_n\}$单调递减且极限为0，那么这个级数收敛，余项$r_n$满足$\left|r_n\right|\leq u_{n+1}$。
用柯西审敛原理可以方便地证明。
对于一般的级数，如果把每一项取绝对值后，级数收敛，则称这个级数绝对收敛，相应的，如果这个级数本身收敛，但是每项加绝对值后级数发散，那么称这个级数条件收敛。
定理8 绝对收敛级数必收敛。
绝对收敛级数的性质
定理9 绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和。
级数之间相乘后，新的无穷和式之间的项需要合并。可以使用对角线法和正方形法。
对角线法：记矩阵$A_{ij}=(u_iv_j)_{ij}$，无穷级数乘积$\left(\sum_{n=1}^\infty u_n\right)\left(\sum_{n=1}^\infty v_n\right)$可以表示成$\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^nu_{n-k+1}v_{k}$，也就是矩阵$A$从右上到左下的各对角线之和。得到的级数称作两个级数的柯西乘积。
正方形法：和上述矩阵相同，只不过把求和范围变为在左上角的$n\times n$子方阵。
定理10（绝对收敛级数的乘法）绝对收敛级数的柯西乘积也是绝对收敛的，其和为两级数的和之积。
取柯西乘积的前$n$项和，这前$n$项和一定小于$\left(\sum_{n=1}^nu_n\right)\left(\sum_{n=1}^nv_n\right)$，所以柯西乘积收敛，可以交换次序而变为正方形法的和式，而正方形法的和式$s_n$满足$s_k=\left(\sum_{k=1}^nu_k\right)\left(\sum_{k=1}^nv_k\right)$，取极限即有$s=\left(\sum_{n=1}^\infty u_n\right)\left(\sum_{n=1}^\infty v_n\right)$。
幂级数
和常数项级数一样，函数项级数是函数列$\{u_n(x)\}$的无穷加和。给出一个$x_0$，若$\sum_{n=1}^\infty u_n(x_0)$存在，则称点$x=x_0$为收敛点，否则称为发散点。收敛点的集合称为收敛域，发散点的集合称为发散域。类比常数项级数，有和函数$s(x)$和余项$r_k(x)$。
幂级数：具有形式$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$的函数项级数，其中$a_n$称为幂级数的系数。
定理1（Abel定理） 如果级数$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$当$x=x_0$时收敛，那么适合不等式$|x|<|x_0|$的一切$x$都使得这个幂级数绝对收敛，反之，若
级数$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$当$x=x_0$时发散，那么适合不等式$|x|>|x_0|$的一切$x$都使得这个幂级数发散。
由收敛得对于任意的$n$，$\left|a_nx_0^n\right|\leq M$有界，因此对于任意的$x<x_0$，$\left|a_nx^n\right|=\left|a_nx_0^n\right|\cdot\left|\frac{x}{x_0}\right|^n\leq M\left|\frac{x}{x_0}\right|^n$，无穷级数仍收敛。
由Abel定理可以得到收敛半径的概念。对于任意的幂级数，一定存在确定的非负数$R$，使得这个幂级数在到原点距离为$R$的范围内绝对收敛，在到原点距离大于$R$的范围内发散，而距离刚好等于$R$时，收敛与发散需要另外判断。这个$R$通常叫做幂级数的收敛半径，开区间$(-R,R)$称作幂级数的收敛区间。
对于收敛半径的求法有如下定理：
定理2 如果$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$，则幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$的收敛半径$R=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\rho},&\rho\neq0,\\ +\infty,&\rho=0,\\ 0,&\rho=+\infty.\end{matrix}\right.$
有些级数会缺少一些项，比如偶函数的泰勒级数没有奇次方项，此时不能应用上述定理，但是可以应用审敛法判断收敛半径。任意级数的比值审敛法比较方便。
幂级数的运算：幂级数可以直接逐项进行加法或减法，其收敛域取交集。幂级数的乘法使用柯西乘积，收敛域仍然取交集。幂级数的除法可由待定系数法求出。
幂级数的和函数有一些性质：
性质1 幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$的和函数$s(x)$在其收敛域上连续。
性质2 幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$的和函数$s(x)$在其收敛域上可积，进行逐项积分有$\int_0^xs(t)\mathrm dt=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_nx^{n+1}}{n+1}$。
性质3 幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$的和函数$s(x)$在其收敛域上任意阶可导，进行逐项求导有$\frac{\mathrm ds(x)}{\mathrm dx}=\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}$，其收敛半径与原幂级数相同。
以上性质的证明需要用到函数项级数的一致收敛性。
要熟练掌握一些常用函数的泰勒展开公式，通过代数变换与求导、积分可以求一些幂级数的和函数。
函数的幂级数展开
和研究给定的幂级数相比，我们更关心如何将一个函数$f(x)$展开成幂级数。
和泰勒公式的推导相仿，我们有泰勒级数
上式称作函数$f(x)$在$x=x_0$处的泰勒展开式，其前$n+1$项称作函数$f(x)$的$n$阶泰勒多项式。那么这个式子成立的范围如何？
定理 设函数$f(x)$在邻域$U(x_0)$内具有各阶导数，则$f(x)$在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件为泰勒级数的余项$R_n(x)$在$n\to\infty$时的极限为$0$。
用泰勒多项式、泰勒级数与余项的关系可以证明以上定理。
特殊地，$x_0=0$时的泰勒级数又称为麦克劳林级数
$r$是级数的收敛半径。相应地有麦克劳林展开式。
注意：在用直接展开法将函数展开成幂级数时，要检查余项是否为$0$，并判断收敛区间。
直接展开很麻烦，一是导数不好求，二是余项不好算。可以使用间接展开法，把函数变形成一些已知幂级数的函数的组合。
| 函数 | 幂级数 |
|---|---|
| $e^x$ | $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ |
| $a^x$ | $\sum_{n=0}^\infty\frac{\ln^na}{n!}x^n$ |
| $\sin x$ | $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$ |
| $\cos x$ | $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$ |
| $\frac{1}{1-x}$ | $\sum_{n=0}^\infty x^n,-1<x<1$ |
| $\frac{1}{1+x}$ | $\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n,-1<x<1$ |
| $\frac{1}{1+x^2}$ | $\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n},-1<x<1$ |
| $\ln(1+x)$ | $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{n+1}}{n+1}=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n},-1<x\leq1$ |
| $\arctan x$ | $\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1},-1\leq x\leq1$ |
| $(1+x)^m$ | $1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{m(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1)}{k!}x^k+\cdots,-1<x<1$ |